Question

如圖，一次函數分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=﹣x²+bx+c過A、B兩點．

（1）求這個拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2（2）當t=2時，MN有最大值4（3）D點坐標為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）

解：（1）∵分別交y軸、x軸于A、B兩點，
∴A、B點的坐標為：A（0，2），B（4，0）。
將x=0，y=2代入y=﹣x²+bx+c得c=2；
將x=4，y=0代入y=﹣x²+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=。
∴拋物線解析式為：y=﹣x²+x+2。
（2）如圖1，

設MN交x軸于點E，則E（t，0），BE=4﹣t。
∵，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）× =2﹣t。
又∵N點在拋物線上，且x_N=t，∴y_N=﹣t²+t+2。
∴。
∴當t=2時，MN有最大值4。
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
如圖2，

以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，D點的可能位置有三種情形。
（i）當D在y軸上時，設D的坐標為（0，a），
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a₁=6，a₂=﹣2，
從而D為（0，6）或D（0，﹣2）。
（ii）當D不在y軸上時，由圖可知D為D₁N與D₂M的交點，
由D₁（0，6），N（2，5）易得D₁N的方程為y=x+6；
由D₂（0，﹣2），M（2，1）D₂M的方程為y=x﹣2。
由兩方程聯立解得D為（4，4）。
綜上所述，所求的D點坐標為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。
（1）首先求得A、B點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式。
（2）求得線段MN的表達式，這個表達式是關于t的二次函數，利用二次函數的極值求線段MN的最大值。
（3）明確D點的可能位置有三種情形，如圖2所示，不要遺漏．其中D₁、D₂在y軸上，利用線段數量關系容易求得坐標；D₃點在第一象限，是直線D₁N和D₂M的交點，利用直線解析式求得交點坐標。