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如圖,直線MN經過線段AC的端點A,點B、Ｄ分別在

和

的角平分線AE、AF上,BD交AC于點O,如果O是BD的中點,試找出當點O在AC的什么位置時,四邊形ABCD是矩形,并說明理由.

O在AC的中點時，四邊形ABCD是矩形．證明見解析．

試題分析：由一對鄰補角的平分線互相垂直得出∠FAE=90°，要想四邊形ABCD是矩形，只需證明四邊形ABCD是平行四邊形．
試題解析：O在AC的中點時，四邊形ABCD是矩形．
∵AO=CO，BO=DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵∠FAC=

∠MAC，∠CAE=

∠CAN，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=

（∠MAC+∠CAN）=

×180°=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在梯形

中，

為

的中點，

交

于點

．
（1）求證：

；
（2）當

，且

平分

時，求

的長．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，若分別以△ABC的AC、BC兩邊為邊向外側作的四邊形ACDE和BCFG為正方形，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形．
（1）發現：如圖2，當∠C=90°時，求證：△ABC與△DCF的面積相等．
（2）引申：如果∠C

90°時，（1）中結論還成立嗎？若成立，請結合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）運用：如圖3，分別以△ABC的三邊為邊向外側作的四邊形ACDE、BCFG和ABMN為正方形，則稱這三個正方形為外展三葉正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．當∠C=_____度時，圖中陰影部分的面積和有最大值是________．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在△ABC中，E、D分別為AB、AC上的點，且ED//BC，O為DC中點，連結EO并延長交BC的延長線于點F，則有S_{四邊形EBCD}=S_△_EBF.
（1）如圖2，在已知銳角∠AOB內有一個定點P．過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N．將直線MN繞著點P旋轉的過程中發現，當直線MN滿足某個條件時，△MON的面積存在最小值．直接寫出這個條件:_______________________.
（2）如圖3，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B、C、P的坐標分別為（6，0）、（6，3）、（

，

）、（4、2），過點P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個四邊形，求其中以點O為頂點的四邊形面積的最大值．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。點D是AC上的動點，過D作DF⊥BC于F，再過F作FE//AC，交AB于E。設CD=x，DF=y.
（1）求y與x的函數關系式；
（2）當四邊形AEFD為菱形時，求x的值；
（3）當△FED是直角三角形時，求x的值.

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

對正方形ABCD分劃如圖①，其中E、F分別是BC、CD的中點，M、N、G分別是OB、OD、EF的中點，沿分劃線可以剪出一副由七塊部件組成的“七巧板”．
(1)如果設正方形OGFN的邊長為l，這七塊部件的各邊長中，從小到大的四個不同值分別為l、x₁、x₂、x₃，那么x₁= ；各內角中最小內角是度，最大內角是度；用它們拼成的一個五邊形如圖②，其面積是，
(2)請用這副七巧板，既不留下一絲空白，又不相互重疊，拼出2種邊數不同的凸多邊形，畫在下面格點圖中，并使凸多邊形的頂點落在格點圖的小黑點上(格點圖中，上下、左右相鄰兩點距離都為1)．
注：不能拼成與圖①或②全等的多邊形!