Question

如圖，從⊙O外一點A作⊙O的切線AB、AC，切點分別為B、C，且⊙O直徑BD=6，連接CD、AO．
（1）求證：CD∥AO；
（2）設CD=x，AO=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）若AO+CD=11，求AB的長．

Answer 1

（1）證明：連接BC交OA于E點，
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴AB=AC，∠1=∠2．
∴AE⊥BC．
∴∠OEB=90°．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DCB=90°．
∴∠DCB=∠OEB．
∴CD∥AO．

（2）解：∵CD∥AO，
∴∠3=∠4．
∵AB是⊙O的切線，DB是直徑，
∴∠DCB=∠ABO=90°．
∴△BDC∽△AOB．
∴=．
∴=．
∴y=．
∴0＜x＜6．

（3）解：由已知和（2）知：，
把x、y看作方程z²-11z+18=0的兩根，
解這個方程得z=2或z=9，
∴（舍去）．
∴AB===．
分析：（1）欲證CD∥AO，根據平行線的判斷，證明∠DCB=∠OEB即可；
（2）由題可知求y與x之間的函數關系式，可以通過△BDC∽△AOB的比例關系式得出；
（3）求AB的長，因為AB是⊙O的切線，可先求OA，OB的長．AO+CD=11結合（2），解方程組并且檢驗，從而求解．
點評：本題綜合考查的是平行線的判斷，切線長定理，相似三角形，勾股定理及解方程組的綜合運用．