Question

【題目】在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、AD邊上一點，∠DFC＝2∠FCE．

（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，∠DFC＝60°，BE＝4，則AF＝　 　．

（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，∠A＝120°，∠DFC＝90°，BE＝4，求的值．

（3）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，點E是AB的中點，CE＝12，CF＝13，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據含30°的直角三角形的性質解答即可；

（2）過E作EG⊥BC，利用含30°的直角三角形的性質和等腰直角三角形的性質進行解答即可；

（3）延長FE交CB延長線于點M，再利用相似三角形的性質和勾股定理進行解答．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∠DFC＝60°，

∴∠DCF＝30°，

∵∠DFC＝2∠FCE，

∴∠FCE＝∠ECB＝30°，

∴

∴DF＝4，

∴

故答案為：

（2）過E作EG⊥BC，如圖1：

∵∠DFC＝90°，∠DFC＝2∠FCE，

∴∠FCE＝∠BCE＝45°，

∵∠A＝120°，

∴∠B＝60°，

∴BG＝2，

∴

∴BC＝CD＝AB＝AD＝

∴

∴

∴

∴

（3）延長FE交CB延長線于點M，如圖2：

在△AFE與△BME中，

∴△AFE≌△BME（ASA），

∴BM＝AF，ME＝EF，

∵∠DFC＝2∠FCE，

∴CE是∠FCB的角平分線，

∴CM＝CF＝13，

在Rt△MEC中，，

∵∠EMB＝∠EMB，∠EBM＝∠EBC＝90°，

∴△EMB∽△EMC，

∴．