Question

15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分線，以點D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點E
（1）求證：BC是⊙D的切線；
（2）若AB=5，BC=13，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）過點D作DF⊥BC于點F，根據角平分線的性質得到AD=DF．根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）根據切線的性質得到AB=FB．根據和勾股定理列方程即可得到結論．

解答 （1）證明：過點D作DF⊥BC于點F，
∵∠BAD=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=DF．
∵AD是⊙D的半徑，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切線；

（2）解：∵∠BAC=90°．
∴AB與⊙D相切，
∵BC是⊙D的切線，
∴AB=FB．
∵AB=5，BC=13，
∴CF=8，AC=12．
在Rt△DFC中，
設DF=DE=r，則
r²+64=（12-r）²，
解得：r=$\frac{10}{3}$．
∴CE=$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．