Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，連接OC交⊙O于點D，連接BD并延長交線段AC于點E，∠CDE=∠CAD．
（1）求證：CD²=AC•EC；
（2）判斷AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（3）若AE=EC，求tanB的值．

Answer 1

分析 （1）根據相似三角形的判定和性質定理證明；
（2）證明BA⊥AC，證明結論；
（3）根據相似三角形的性質得到CD=$\sqrt{2}$CE，證明△CDE∽△CAD，根據相似三角形的性質解答即可．

解答 （1）證明：∵∠CDE=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CD}$，
∴CD²=CA•CE；
（2）AC與⊙O相切，
證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠ODB=∠CDE，∠CDE=∠CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC與⊙O相切；
（3）解：∵AE=EC，
∴CD²=CA•CE=（AE+CE）•CE=2CE²，
∴CD=$\sqrt{2}$CE，
∵△CDE∽△CAD，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{CD}=\frac{CE}{{\sqrt{2}CE}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵∠ADE=180°-∠ADB=90°，∠B=∠CAD，
∴tan B=tan∠CAD=$\frac{DE}{AD}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查的是圓的知識的綜合應用，掌握圓的切線的判定定理、相似三角形的判定和性質定理、銳角三角函數的概念是解題的關鍵．