Question

【題目】已知在△ABC中，AC=BC，AC⊥BC于點C，過點C作直線EF∥AB，點D在直線EF上，連接BD，過點D作GD⊥BD，交直線AC于點H，連接BG.

（1）如圖1所示，當點D在射線CF上，點H在射線AC上時，連接BH，過點D作MD⊥CD，交CB的延長線于點M. 求證：∠GBH+∠G=∠M；

（2）如圖2所示，當點D在射線CE上，點H在射線CA上時，試判斷并證明DH與BD之間的數量關系.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）DH=BD.

【解析】分析：（1）如圖1中，作DN⊥EM于N，DP⊥AC于P．只要證明四邊形PCND是矩形，△DPH≌△DNB，推出DH=BD，推出△BDH是等腰直角三角形，由此即可解決問題；（2）如圖2中，作DN⊥BC于N，DP⊥AC于P．只要證明四邊形PCND是矩形，△DPH≌△DNB即可；

本題解析：

(1)證明：如圖1，作DN⊥EM于N,DP⊥AC于P.

∵CA=CB, ∠ACB=90°, ∴∠A=∠ABC=45°, ∵EF∥AB, ∴∠DCP=∠A=∠DCB=45°, ∵DN⊥EM于N,DP⊥AC于P, ∴DP=DN, ∵∠PCN=DNC=∠DPC=90°, ∴四邊形PCND是矩形，∴∠PDN=BDH=90°, ∴PDH=BDN, ∴△DPH≌△DNB, ∴DH=BD, ∴△BDH是等腰直角三角形，∴∠BHD=45°, ∵∠BHD=∠GBH+∠G, ∴∠GBH+∠G=45°, ∵DM⊥DC, ∴∠M=∠DCM=45°, ∴∠GBH+∠G=∠M.

(2)如圖2，作DN⊥BC于N,DP⊥AC于P,

∵CA=CB, ∠ACB=90°, ∴∠BCA=∠ABC=45°, ∵EF∥AB, ∴∠DCP=∠BAC=∠DCN=45°, ∵DN⊥EM于N,DP⊥AC于P, ∴DP=DN, ∵∠PCN=∠DNC=∠DPC=90°, ∴四邊形PCND是矩形，∴∠PDN=∠BDH=90°, ∴∠PDH=∠BDN, ∴△DPH≌△DNB, ∴DH=BD.

點睛:本題考查了等腰直角三角形的性質.平行線的性質、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質等知識點，能添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，是解本題的關鍵.