Question

【題目】已知：在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．

（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數；

（2）點P，Q是BC邊上兩動點（不與B，C重合），點P在點Q左側，且AP=AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．

①依題意將圖2補全；

②小明通過觀察和實驗，提出猜想：在點P，Q運動的過程中，始終有PM=PA．他把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成以下證明猜想的思路：

（Ⅰ）要想證明PM=PA，只需證△APM為等腰直角三角形；

（Ⅱ）要想證明△APM為等腰直角三角形，只需證∠PAM=90°，PA=AM；

…

請參考上面的思路，幫助小明證明PM=PA．

Answer 1

【答案】（1）∠AQB=65°；（2）①詳見解析；②詳見解析.

【解析】

（1）首先證明∠BAP=∠CAQ，再根據三角形的外角的性質計算即可；

（2）①根據要求畫出圖形即可；

②只要證明AP=AM，∠PAM=90°即可解決問題；

（1）解：如圖1中，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠C=45°

∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQC，

∵∠APQ=∠B+∠BAP，∠AQP=∠C+∠CAQ，

∴∠BAP=∠CAQ=20°，

∴∠AQB=45°+20°=65°．

（2）①解：如圖2中所示：

②證明：∵Q、M關于AC對稱，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∵∠BAP=∠CAQ，

∴∠BAP=∠CAM，

∴∠BAP+∠PAC=∠CAM+∠PAC，

即∠PAM=∠BAC=90°，

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△PAM是等腰直角三角形，

∴