Question

【題目】如圖，C為⊙O上的一點，P為直徑AB延長線上的一點，BH⊥CP于H交⊙O于D，∠PBH=2∠PAC．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若sin∠P= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠PAC=∠OCA，

∴∠COP=∠PAC+∠OCA=2∠PAC，

∵∠PBH=2∠PAC，

∴∠COP=∠OBH，

∴OC∥BH，

∵BH⊥CP，

∴OC⊥CP，

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為2a，

在Rt△OCP中，sin∠P= ，OC⊥CP，

∴OP=3a，

∴PB=OP﹣OB=a，

作OG⊥DH，

則BG= BD，△OBG∽△PBH，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠PAC=∠OCA，推出∠COP=∠OBH，得到OC∥BH，于是得到結論；（2）設⊙O的半徑為2a，解直角三角形得到OP=3a，PB=OP﹣OB=a，作OG⊥DH，根據相似三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．