Question

【題目】如圖，等腰直角三角形ABC中，點D在斜邊BC上，以AD為直角邊作等腰直角三角形ADE．

（1）求證：△ABD≌△ACE；

（2）求證：BD2＋CD2＝2AD2．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）通過證BA＝CA，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得出△ABD≌△ACE；

（2）證CE=BD,DE2=2AD2，再在Rt△CDE中利用勾股定理即可.

解：∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝45°，

∴∠BAD＋∠DAC ＝∠CAE＋∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE．

在△ABD與△ACE中，BA＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE．

（2）∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD=CE．

∴∠ECD＝∠ACE＋∠ACB＝90°，

∴CE2＋CD2＝DE2．

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴DE2＝AD2＋AE2＝2AD2．

∴BD2＋CD2＝2AD2．