Question

【題目】【問題情境】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據是 ．

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

（2）由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是 ．

解后反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形之中．

【初步運用】

如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求線段BF的長．

【靈活運用】

如圖③，在△ABC中， ∠A＝90°，D為BC中點， DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】【問題提出】（1）B；（2）2＜AD＜10；【初步運用】5；【靈活運用】猜想：BE2＋CF2＝EF2，證明見解析.

【解析】試題分析：【問題提出】（1）根據AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據全等得出BE=AC=8，AE=2AD，由三角形三邊關系定理得出12-8<2AD<12+8，求出即可；

【初步運用】延長AD到M，使AD=DM，連接BM，根據SAS證△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根據AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根據等腰三角形的性質求出即可；

【靈活運用】延長FD至G，使得DG＝DF，連接BG、EG，根據SAS證△FDC≌△GDB，由全等三角形的性質得到CF＝BG，∠FCD＝∠GBD，由線段垂直平分線的性質得EF＝EG，由同角的余角相等證∠EBG＝90°，在Rt△EBG中用勾股定理即可得證.

試題解析：

【問題提出】(1)∵在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=CD，

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

故選B；

（2）∵由(1)知：△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=8，AE=2AD，

∵在△ABE中，AB=12，由三角形三邊關系定理得：128<2AD<12+8，

∴2<AD<10，

故答案為：2<AD<10；

【初步運用】

如圖，延長AD到M，使DM＝AD，連接BM

∵AD是△ABC中線

∴BD＝DC

又∵∠ADC＝∠MDB

∴△ADC≌△MDB

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M

∵AE＝EF

∴∠CAD＝∠AFE

∵∠AFE＝∠BFD

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M

∴BF＝BM＝AC＝3＋2＝5；

【靈活運用】

猜想：BE2＋CF2＝EF2

理由：如圖，延長FD至G，使得DG＝DF，連接BG、EG，則△FDC≌△GDB．

∴CF＝BG，∠FCD＝∠GBD，

∵DF＝DG，DE⊥DF，

∴EF＝EG，

在△ABC中，∵∠A＝90°，

∴∠EBC＋∠FCB＝90°，

∴∠EBC＋∠GBD＝90°，即∠EBG＝90°，

∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2，

∴BE2＋CF2＝EF2．