Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點P是圓外一點，PA切⊙O于點A，且PA＝PB.

(1)求證：PB是⊙O的切線；

(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為1.

【解析】

（1）連結OB，由OA=OB，得∠OAB=∠OBA，再根據PA=PB，得∠PAB=∠PBA，從而得出∠PAO=∠PBO，由PA是⊙O的切線可推得∠PBO=90°，即OB⊥PB，所以PB是⊙O的切線；

（2）連結OP，根據PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上，再由OA=OB，則點O在線段AB的垂直平分線上，從而得出OP垂直平分線段AB，根據BC⊥AB，得出PO∥BC，則∠AOP=∠ACB=60°．在Rt△APO中，利用tan∠AOP，求出AP，即可得出答案．

（1）連結OB．

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．

∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，即∠PAO=∠PBO．

又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB．

又∵OB是⊙O半徑，∴PB是⊙O的切線；

（2）連結OP．

∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．

∵OA=OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上，∴OP垂直平分線段AB．

又∵BC⊥AB，∴PO∥BC，∴∠AOP=∠ACB=60°．

在Rt△APO中，∵tan∠AOPtan60°，AP，∴AO=1，∴⊙O的半徑為1．