Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與x軸相交于C(－2，0)，D(－8，0)兩點，與y軸相切于點B(0，4)．

(1)求經過B、C、D三點的拋物線對應的函數表達式；

(2)設拋物線的頂點為E，證明：直線CE與⊙A相切．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x＋4；（2）詳見解析.

【解析】

（1）把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入二次函數的解析式即可得到結果；

（2）由yx2x+4（x+5）2，得到頂點坐標E（﹣5，），求得直線CE的函數解析式y，在y中，令x=0，y，得到G（0，），如圖1，連接AB，AC，AG，得BG=OB﹣OG=4，CG，得到BG=CG，AB=AC，證得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A與y軸相切于點B（0，4），于是得到∠ABG=90°，即可求得結論．

（1）設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：，解得：，∴經過B，C，D三點的拋物線的函數表達式為：yx2x+4；

（2）∵yx2x+4（x+5）2，∴E（﹣5，），設直線CE的函數解析式為y=mx+n，直線CE與y軸交于點G，則，解得：，∴y，在y中，令x=0，y，∴G（0，），如圖1，連接AB，AC，AG，則BG=OB﹣OG=4，CG，∴BG=CG，AB=AC．在△ABG與△ACG中，∵，∴△ABG≌△ACG，∴∠ACG=∠ABG．

∵⊙A與y軸相切于點B（0，4），∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90°

∵點C在⊙A上，∴直線CE與⊙A相切．