Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點M，BE⊥CD于點E．

（1）求證：∠BME=∠MAB；
（2）求證：BM2=BEAB；
（3）若BE= ，sin∠BAM= ，求線段AM的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接OM，

∵直線CD切⊙O于點M，

∴∠OMD=90°，

∴∠BME+∠OMB=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AMB=90°．

∴∠AMO+∠OMB=90°，

∴∠BME=∠AMO，

∵OA=OM，

∴∠MAB=∠AMO，

∴∠BME=∠MAB

（2）解：由（1）有，∠BME=∠MAB，

∵BE⊥CD，

∴∠BEM=∠AMB=90°，

∴△BME∽△BAM，

∴ ，

∴BM2=BEAB

（3）解：由（1）有，∠BME=∠MAB，

∵sin∠BAM= ，

∴sin∠BME= ，

在Rt△BEM中，BE= ，

∴sin∠BME= = ，

∴BM=6，

在Rt△ABM中，sin∠BAM= ，

∴sin∠BAM= = ，

∴AB= BM=10，

根據勾股定理得，AM=8

【解析】（1）由切線的性質得出∠BME+∠OMB=90°，再由直徑得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判斷出結論；（2）由（1）得出的結論和直角，判斷出△BME∽△BAM，即可得出結論，（3）先在Rt△BEM中，用三角函數求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函數和勾股定理計算即可．此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質，直徑所對的圓周角是直徑，相似三角形的性質和判定，三角函數，解本題的關鍵是判斷出，△BME∽△BAM．