Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B（－1,0）；C（0,4）；；（2）P（2,6）；（3）點或

【解析】

試題（1）根據A的坐標，即可求得OA的長，則B、C的坐標即可求得，然后利用待定系數法即可求得函數的解析式；

（2）分點A為直角頂點時，和C的直角頂點兩種情況討論，根據OA=OC，即可列方程求解；

（3）據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短，根據等腰三角形的性質，D是AC的中點，則DF=OC，即可求得P的縱坐標，代入二次函數的解析式，即可求得橫坐標，得到P的坐標．

解：（1）由A（4，0），可知OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），B（﹣1，0）．

設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，

則，

解得：，

則拋物線的解析式是：y=﹣x2+3x+4；

（2）存在．

第一種情況，當以C為直角頂點時，過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1．過點P1作y軸的垂線，垂足是M．

∵∠ACP1=90°，

∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

設P（m，﹣m2+3m+4），

則m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴﹣m2+3m+4=6，

即P（2，6）．

第二種情況，當點A為直角頂點時：過A作AP2，交拋物線于點P2，過點P2作y軸的垂線，垂足是N，AP2交y軸于點F．

∴P2N∥x軸，

由∠CAO=45°，

∴∠OAP2=45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

設P2（n，﹣n2+3n+4），

則n=（﹣n2+3n+4）+4，

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴﹣n2+3n+4=﹣6，

則P2的坐標是（﹣2，﹣6）．

綜上所述，P的坐標是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，

根據等腰三角形的性質，D是AC的中點．

又∵DF∥OC，

∴DF=OC=2，

∴點P的縱坐標是2．

則﹣x2+3x+4=2，

解得：x=，

∴當EF最短時，點P的坐標是：（，2）或（，2）．