Question

【題目】如圖，在正方形紙片中，對角線、交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合．展開后，折痕分別交、于點、．連接．下列結論：①；②；③；④四邊形是菱形；⑤．

其中正確結論的序號是（　 　）

A. ①②③④⑤B. ①②③④C. ①③④⑤D. ①④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據折疊的性質我們能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度數，那么在三角形AGD中用三角形的內角和即可求出∠AGD的度數；

②根據AE=EF＜BE即AE＜AB，∴tan∠AED=＞2，

③根據△AGD與△OGD同高不等底，即可判斷；

④根據同位角相等得到EF∥AC，GF∥AB，由折疊的性質得出AE=EF，即可判定四邊形AEFG是菱形；

⑤通過相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例關系，然后再在BEF中求出BE和EF的關系，進而求出BE和OG的關系．

解：因為在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，所以∠GAD=45°，∠ADG=∠ADO=22.5°，

所以∠AGD=112.5°，所以①正確．

因為tan∠AED=，因為AE=EF＜BE，

所以AE＜AB，所以tan∠AED=＞2，因此②錯．

因為AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，

所以S△AGD＞S△OGD，所以③錯．

根據題意可得：AE=EF，AG=FG，又因為EF∥AC，

所以∠FEG=∠AGE，又因為∠AEG=∠FEG，

所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，

所以四邊形AEFG是菱形，因此④正確．

由折疊的性質設BF=EF=AE=1，則AB=1+，BD=2+，DF=1+，由此可求=，

∵∠DFE=∠BAD=∠AOD=90°（折疊的性質），

∵四邊形AEFG是菱形，

∴EF∥AG∥AC，

∴△DOG∽△DFE，

∴= =

EF=2OG，

在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，

所以△BEF是等腰直角三角形，同理可證△OFG是等腰直角三角形，

在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE2=2EF2=2GF2=2×2OG2，

所以BE=2OG．因此⑤正確．