Question

如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為           .

Answer 1

分兩步分析：
（1）若點P，Q固定，此時點K的位置：如圖，作點P關于BD的對稱點P₁，連接P₁Q，交BD于點K₁。

由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質，得
P₁K₁ =" P" K₁，P₁K=PK。
由三角形兩邊之和大于第三邊的性質，得P₁K＋QK＞P₁Q= P₁K₁＋Q K₁=" P" K₁＋Q K₁。
∴此時的K₁就是使PK+QK最小的位置。
（2）點P，Q變動，根據菱形的性質，點P關于BD的對稱點P₁在AB上，即不論點P在BC上任一點，點P₁總在AB上。

因此，根據直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質，得，當P₁Q⊥AB時P₁Q最短。
過點A作AQ₁⊥DC于點Q₁。∵菱形ABCD，∴∠ADC="∠ABC=60°" ，∴∠DAQ₁=30°。 又∵AD=AB=4，∴P₁Q=AQ₁=AD·cos∠DAQ₁= AD·cos30°=。
綜上所述，PK+QK的最小值為。