Question

泰州新星電子科技公司積極應對世界金融危機，及時調整投資方向，瞄準光伏產業，建成了太陽能光伏電池生產線．由于新產品開發初期成本高，且市場占有率不高等因素的影響，產品投產上市一年來，公司經歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對經營的盈虧情況每月最后一天結算1次）．公司累積獲得的利潤y（萬元）與銷售時間第x（月）之間的函數關系式（即前x個月的利潤總和y與x之間的關系）對應的點都在如圖所示的圖象上．該圖象從左至右，依次是線段OA、曲線AB和曲線BC，其中曲線AB為拋物線的一部分，點A為該拋物線的頂點，曲線BC為另一拋物線的一部分，且點A，B，C的橫坐標分別為4，10，12
（1）求該公司累積獲得的利潤y（萬元）與時間第x（月）之間的函數關系式；
（2）直接寫出第x個月所獲得S（萬元）與時間x（月）之間的函數關系式（不需要寫出計算過程）；
（3）前12個月中，第幾個月該公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？

Answer 1

（1）設直線OA的解析式為y=kx，
∵點O（0，0），A（4，-40）在該直線上，
∴-40=4k，
解得k=-10，
∴y=-10x；
∵點B在拋物線y=-5x²+205x-1230上，
設B（10，m），則m=320．
∴點B的坐標為（10，320）．
∵點A為拋物線的頂點，
∴設曲線AB所在的拋物線的解析式為y=a（x-4）²-40，
∴320=a（10-4）²-40，
解得a=10，
即y=10（x-4）²-40=10x²-80x+120．
∴y=-10x(x=1、2、3、4)
y=10x²-80x+120(x=5、6、7、8、9)
y=-5x²+205x-1230(x=10、11、12)
（2）利用第x+1個月的利潤應該是前x+1個月的利潤之和減去前x個月的利潤之和：
-10(x+1)-[-(10x)](x=1、2、3、4)
10(x+1)²-80(x+1)+120-[10x²-80x+120](x=5、6、7、8、9)
-5(x+1)²+205(x+1)-1230-(-5x²+205x-1230)(x=10、11、12)
即S=-10(x=1、2、3、4)
S=20x-90(x=5、6、7、8、9)
S=-10x+210(x=10、11、12)
（3）由（2）知當x=1，2，3，4時，s的值均為-10，
當x=5，6，7，8，9時，當x=9時s有最大值90，
而在x=10，11，12時，s=-10x+210，
當x=10時，s有最大值110，
因此第9月公司所獲利潤最大，它是110萬元．

（1）根據各段圖象所過的特殊點易求其解析式，注意自變量的取值范圍，綜合起來得結論；
（2）在各段中，s=y_x-y_（x-1）；
（3）根據函數性質分別求出各段中s的最大值比較后得結論．