Question

20．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC．問：此時直線ON是否平分∠AOC？請說明理由．
（2）將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，求t的值．
（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，試探索：在旋轉過程中，∠AOM與∠NOC的差是否發生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請求出差的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的定義可知∠MOC=∠MOB，根據等角的余角相等可知∠COD=∠BON，由對頂角相等可知∠AOD=∠BON，從而可證明∠COD=∠AOD，故此
ON平分∠AOC；
（2）由直線ON恰好平分銳角∠AOC可知旋轉60°或240°時直線ON平分∠AOC，根據旋轉速度可求得需要的時間；
（3）由∠MON=90°，∠AOC=60°，可知∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，最后求得兩角的差，從而可做出判斷．

解答 解：（1）直線ON平分∠AOC． 
理由：如圖：所示設ON的反向延長線為OD．

∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB．
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD=∠MON=90°．
∴∠COD=∠BON．
又∵∠AOD=∠BON（對頂角相等），
∴∠COD=∠AOD．
∴OD平分∠AOC，即直線ON平分∠AOC．  
（2）∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°．
∴∠BON=∠COD=30°．
即旋轉60°或240°時直線ON平分∠AOC．
由題意得，6t=60°或240°．
解得：t=10或40；
（3）∠AOM-∠NOC的差不變．
∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON．
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°．

點評 本題主要考查的是角的計算、角平分線的定義，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的長是解題的關鍵．