Question

11．如圖所示：在平面直角坐標系中，以點M（0，$\sqrt{3}$）為圓心，2$\sqrt{3}$為半徑作⊙M交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，連接AM并延長交⊙M于點P，連接PC交x軸于點E．
（1）求點C，P的坐標；
（2）求弓形$\widehat{ACB}$的面積；
（3）探求線段BE和OE存在何種數量關系，并證明你所得到的結論．

Answer 1

分析 （1）連接PB．根據直徑所對的圓周角是直角判定PB⊥OM；由已知條件OA=OB推知OM是三角形APB的中位線；最后根據三角形的中位線定理求得點P的坐標、由⊙M的半徑長求得點C的坐標；
（2）連接BM，易求扇形AMB的面積和△AMB的面積，由S_弓形ACB=S_扇形AMB-S_△AMB計算即可；
（3）首先證△AMC為等邊三角形，再根據等邊三角形的三個內角都是60°和直徑所對的圓周角∠ACP=90°可求得∠OCE=30°，然后在直角三角形OCE中利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半來證明BE=2OE．

解答 解：（1）連接PB，
∵PA是圓M的直徑，
∴∠PBA=90°，
∴AO=OB=3，
又∵MO⊥AB，
∴PB∥MO，
∴PB=2OM=2$\sqrt{3}$
∴P點坐標為（3，2$\sqrt{3}$），
在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2$\sqrt{3}$，
根據勾股定理得：AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴圓的半徑MC=2$\sqrt{3}$，
又∵OM=$\sqrt{3}$，
∴OC=MC-OM=$\sqrt{3}$，
則C（0，-$\sqrt{3}$）；
（2）連接BM，
∵BP=2$\sqrt{3}$，AP=4$\sqrt{3}$，
∴sin∠PAB=$\frac{1}{2}$，
∴∠PAB=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$AM=$\sqrt{3}$，
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}$AB•OM=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵AM=BM，
∴∠AMB=120°，
∴S_扇形AMB=$\frac{120π×12}{360}$=4π，
∴S_弓形ACB=4π-$3\sqrt{3}$；
（3）BE=20E，理由如下：
∵AM=MC=2$\sqrt{3}$，AO=3，OC=$\sqrt{3}$，
∴AM=MC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴△AMC為等邊三角形，
又∵AP為圓M的直徑，
∴∠ACP=90°
∴∠OCE=30°，
∴OE=1，BE=2，
∴BE=2OE．

點評 本題綜合考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質以及坐標與圖形性質、扇形的面積公式、三角形面積公式的運用．解答該題時通過作輔助線構建直徑所對的圓周角∠ACP、∠ABP，然后利用圓周角定理來解決問題．