Question

8．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BC=10，cos∠ACB=$\frac{4}{5}$，點E在對角線AC上，且CE=AD，BE的延長線與射線AD、射線CD分別相交于點F、G，設AD=x，△AEF的面積為y．
（1）求證：∠DCA=∠EBC；
（2）如圖，當點G在線段CD上時，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面積．

Answer 1

分析 （1）由AD與BC平行，得到一對內錯角相等，再由AD=CE，AC=BC，利用SAS可得△DCA≌△ECB，由全等三角形的性質可得結論；
（2）由AD與BC平行，得到三角形AEF與三角形CEB相似，由相似得比例表示出AF，過E作EH垂直于AF，根據銳角三角函數定義表示出EH，進而表示出y與x的函數解析式，并求出x的范圍即可；
（3）分兩種情況考慮：①當∠FDG=90°時，如圖2所示，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數定義求出AD的長，即為x的值，代入求出y的值，即為三角形AEF面積；②當∠DGF=90°時，過E作EM⊥BC于點M，如圖3所示，由相似列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，進而求出y的值，即為三角形AEF面積．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DCA和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}&{\;}\\{∠DAC=∠ECB}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴∠DCA=∠EBC；
（2）∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{AF}{10}=\frac{10-x}{x}$，
解得：AF=$\frac{10（10-x）}{x}$，
作EH⊥AF于H，如圖1所示，

∵cos∠ACB=$\frac{4}{5}$，
∴EH=$\frac{3}{5}$AE=$\frac{3}{5}$（10-x），
∴y=S_△AEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$（10-x）×$\frac{10（10-x）}{x}$=$\frac{3（10-x）^{2}}{x}$，
∴y=$\frac{3{x}^{2}-60x+300}{x}$，
∵點G在線段CD上，
∴AF≥AD，即$\frac{10（10-x）}{x}$≥x，
∴x≤5$\sqrt{5}$-5，
∴0＜x≤5$\sqrt{5}$-5，
∴y關于x的函數解析式為：y=$\frac{3{x}^{2}-60x+300}{x}$，（0＜x≤5$\sqrt{5}$-5）；
（3）分兩種情況考慮：
①當∠FDG=90°時，如圖2所示：

在Rt△ADC中，AD=AC×$\frac{4}{5}$=8，即x=8，
∴S_△AEF=y=$\frac{3×（10-8）^{2}}{8}$=$\frac{3}{2}$；
②當∠DGF=90°時，過E作EM⊥BC于點M，如圖3所示，

由（1）得：CE=AF=x，
在Rt△EMC中，EM=$\frac{3}{5}$x，MC=$\frac{4}{5}$x，
∴BM=BC-MC=10-$\frac{4}{5}$x，
∵∠GCE=∠GBC，∠EGC=∠CGB，
∴△CGE∽△BGC，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CG}{BG}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{CG}{BG}$，
∵∠EBM=∠CBG，∠BME=∠BGC=90°，
∴△BME∽△BGC，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{EM}{BM}$=$\frac{\frac{3}{5}x}{10-\frac{4}{5}x}$，
∴$\frac{x}{10}$=$\frac{\frac{3}{5}x}{10-\frac{4}{5}x}$，即x=5，
此時y=$\frac{3×（10-5）^{2}}{5}$=15，
綜上，此時△AEF的面積為$\frac{3}{2}$或15．

點評 此題屬于相似型綜合題，涉及的知識有：平行線的判定，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，利用了分類討論的思想，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．