Question

【題目】已知直線l1：y＝﹣x+b與x軸交于點A，直線l2：y＝x﹣與x軸交于點B，直線l1、l2交與點C，且C點的橫坐標為1．

（1）如圖，過點A作x軸的垂線，若點P（x，2）為垂線上的一個點，Q是y軸上一動點，若S△CPQ＝5，求此時點Q的坐標；

（2）若P在過A作x軸的垂線上，點Q為y軸上的一個動點，當CP+PQ+QA的值最小時，求此時P的坐標；

（3）如圖，點E的坐標為（﹣2，0），將直線l1繞點C旋轉，使旋轉后的直線l3剛好過點E，過點C作平行于x軸的直線l4，點M、N分別為直線l3、l4上的兩個動點，是否存在點M、N，使得△BMN是以M點為直角頂點的等腰直角三角形，若存在， 求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）Q的坐標為（0,0）或（0，-5）；（2）點P的坐標為（﹣3，﹣）；（3）①點N的坐標為（﹣16，﹣4），②點N的坐標為（﹣，﹣4）或（﹣16，﹣4）．

【解析】

（1）當x=1時，y=x﹣，即點C的坐標為（1，-4），將點C的坐標代入直線l1：y=-x+b中，即可求直線l1解析式；再根據P點縱坐標為2，求出P點坐標，然后求出直線AC的解析式，因為直線AC交y軸于點M，所以M橫坐標為0，再求出縱坐標，最后根據S△CPQ＝QM×（xC﹣xP）＝=5，解得：yQ=0或-5，即可得出結果；（2）根據最短路徑問題可得：作C關于過A垂線的對稱點C′（﹣7，﹣4）、A關于y軸的對稱點A′（3，0），連接A′C′交過A點的垂線與點P，交y軸于點Q，此時，CP+PQ+QA的值最小，解得直線A′C′的表達式，從而求得點P的坐標；（3）如圖2，點E的坐標為（-2，0），將直線l1繞點C逆時針旋轉，使旋轉后的直線l3剛好過點E，過點C作平行于x軸的直線l4，點M、N分別為直線l3、l4上的兩個動點，是否存在點M、N，使得△BMN是以M點為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，直接寫出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

（1）直線l2：y＝x﹣，令x＝1，則y＝﹣4，故C（1，﹣4），

把C（1，﹣4）代入直線l1：y＝﹣x+b，得：b＝﹣3，則l1為：y＝﹣x﹣3， 所以A（﹣3，0），所以點P坐標為（﹣3，2），如圖，設直線AC交y軸于點M，

設yPC＝mx+t得：，解得， ∴yPC＝-1.5x-2.5，即M（0，-2.5）．

S△CPQ＝QM×（xC﹣xP）＝=5，解得：yQ=0或-5，

∴Q的坐標為（0,0）或（0，）

（2）確定C關于過A垂線的對稱點C′（﹣7，﹣4）、A關于y軸的對稱點A′（3，0），

連接A′C′交過A點的垂線與點P，交y軸于點Q，此時，CP+PQ+QA的值最小，

將點A′、C′點的坐標代入一次函數表達式：y＝k′x+b′得：，解得： ，

則直線A′C′的表達式為：y＝x﹣，當x＝﹣3時，y＝﹣，

即點P的坐標為（﹣3，﹣），

（3）將E、C點坐標代入一次函數表達式，同理可得其表達式為

①當點M在直線l4上方時，設點N（n，﹣4），點M（s，﹣s﹣），點B（4，0），

過點N、B分別作y軸的平行線交過點M與x軸的平行線分別交于點R、S，

∵∠RMN+∠RNM＝90°，∠RMN+∠SMR＝90°，

∴∠SMR＝∠RNM，

∠MRN＝∠MSB＝90°，MN＝MB，

∴△MSB≌△NRM（AAS），

∴RN＝MS，RM＝SB，

即 ，解得

故點N的坐標為（﹣16，﹣4），

②當點M在l4下方時，如圖1，過點M作PQ∥x軸，與過點B作y軸的平行線交于Q，與過點N作y軸的平行線交于P，

同①的方法得，N（﹣，﹣4），

即：點N的坐標為（﹣，﹣4）或（﹣16，﹣4）．