Question

【題目】長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉動的速度是a度/秒，燈B轉動的速度是b度/秒，且a，b滿足|a﹣3b﹣1|+（a+b﹣5）2＝0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．

（1）求a，b的值；

（2）若兩燈同時轉動，經過42秒，兩燈射出的光束交于C，求此時∠ACB的度數；

（3）若燈B射線先轉動10秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）a＝4，b＝1；（2）∠ACB＝54°；（3）t＝或 t＝70 或t＝ 或t＝142；

【解析】

（1）根據|a﹣3b﹣1|+（a+b﹣5）2＝0，可得a﹣3b﹣1＝0，且a+b﹣4＝0 ,進而求出a,b的值

（2）根據題意兩燈同時轉動42秒可知∠PBC＝42°，∠MAC＝168°，再根據平行線的性質即可解答

（3）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行根據題意可知一共有四種情況①當0＜t＜45時②當45＜t＜90時③當90＜t＜135時④當135＜t＜170時，再把其代入到公式計算即可

（1）∵a、b滿足|a﹣3b﹣1|+（a+b﹣5）2＝0，

∴a﹣3b﹣1＝0，且a+b﹣4＝0，

∴a＝4，b＝1；

（2）同時轉動，t＝42時，

∠PBC＝42°，∠MAC＝168°，

∵PQ∥MN，

∴∠ACB＝54°，

（3）①當0＜t＜45時，

∴4t＝10+7，

解得t＝ ；

②當45＜t＜90時，

∴360﹣4t＝10+t，

解得t＝70；

③當90＜t＜135時，

∴4t﹣360＝10+t，

解得t＝ ；

④當135＜t＜170時，

∴720﹣4t＝10+t，

解得t＝142；

綜上所述：t＝或 t＝70 或t＝或t＝142；