Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DF⊥AC于點F，交BA的延長線于點E．求證：

（1）BD＝CD；

（2）DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角得到AD⊥BC，然后利用等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線可以證明BD＝CD．

（2）連接OD，利用等邊對等角和等量代換得到∠C＝∠ODB，根據同位角相等，兩直線平行，得到OD∥AC，又DF⊥AC，所以OD⊥DF，根據切線的判斷定理可以得到DE是⊙O的切線．

證明：（1）連接AD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD．

（2）連接OD，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DE是⊙O的切線．