Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD為直徑作⊙O．將矩形ABCD繞點C旋轉，使所得矩形A′B′CD′的邊A′B′與⊙O相切，切點為E，邊CD′與⊙O相交于點F，則CF的長為_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

連接OE，延長EO交CD于點G，作OH⊥B′C，由旋轉性質知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，從而得出四邊形OEB′H和四邊形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝2.5，繼而求得CG＝B′E＝OH＝=2，根據垂徑定理可得CF的長.

連接OE，延長EO交CD于點G，作OH⊥B′C于點H，

A′B′與⊙O相切，則∠OEB′＝∠OHB′＝90°，

∵矩形ABCD繞點C旋轉所得矩形為A′B′C′D′，

∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，

∴四邊形OEB′H和四邊形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，

∴B′H＝OE＝2.5，

∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，

∴CG＝B′E＝OH＝=2，

∵四邊形EB′CG是矩形，

∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，

∴CF＝2CG＝4，

故答案為：4.