Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，OB＝OC＝3．

(1)求該拋物線的函數解析式．

(2)如圖1，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD．OD交BC于點F，當S△COF：S△CDF＝3：2時，求點D的坐標．

(3)如圖2，點E的坐標為（0，），點P是拋物線上的點，連接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在點P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，請直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)點D的坐標為（1，4）或（2，3）；(3)點P坐標為：（，）或（，）．

【解析】

（1）OB=OC=3，則：B（3，0），C（0，-3），把B、C坐標代入拋物線方程，解得拋物線方程為：y=-x2+2x+3；

（2）S△COF：S△CDF=3：2，則S△COF=S△COD，即：xD=xF，即可求解；

（3）分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE兩種情況分別求解即可．

(1)OB＝OC＝3，則：B（3，0），C（0，﹣3），

把B、C坐標代入拋物線方程，

解得拋物線方程為：y＝﹣x2+2x+3；

(2)∵S△COF：S△CDF＝3：2，

∴S△COF＝S△COD，即：xD＝xF，

設：F點橫坐標為3t，則D點橫坐標為5t，

點F在直線BC上，

而BC所在的直線方程為：y＝﹣x+3，則F（3t，3﹣3t），

則：直線OF所在的直線方程為：y＝x＝x，

則點D（5t，5﹣5t），

把D點坐標代入①，解得：t＝或，

則點D的坐標為（1，4）或（2，3）；

(3)①如圖所示，當∠PEB＝2∠OBE＝2α時，

過點E作∠PEB的平分線交x軸于G點，PE交x軸于H點，

則：∠PEQ＝∠QEB＝∠ABE＝α，則∠HGE＝2α，

設：GB＝m，則：OG＝3﹣m，GE＝m，

在Rt△OGE中，由勾股定理得：EG2＝OG2+OE2，

即：m2＝（3﹣m）2+（）2，解得：m＝，

則：GE＝，OG＝，BE＝，

∵∠PEQ＝∠ABE＝α，∠EHG＝∠EHG，∴△HGE∽△HEB，

∴＝＝，設：GH＝x，HE＝4x，

在Rt△OHE中，OH＝OG﹣HG＝﹣x，OE＝，EH＝4x，

由勾股定理解得：x＝，則：OH＝，H（，0），

把E、H兩點坐標代入一次函數表達式，

解得EH所在直線的表達式為：y＝x﹣，

將上式與①聯立并解得：x＝，

則點P（，）；

②當∠PBE＝2∠OBE時，則∠PBO＝∠EBO，

BE所在直線的k值為，則BE所在直線的k值為﹣，

則：PB所在的直線方程為：y＝﹣x+3，

將上式與①聯立，解得：x＝，（x＝0已舍去），

則點P（，），

故：點P坐標為：（，）或（，）．