Question

【題目】（1）操作發現：如圖1，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內部，延長AF交CD于點G．猜想線段GF與GC有何數量關系？并證明你的結論．

（2）簡單應用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求DG的長；

（3）類比探究：如圖2，將（1）中的矩形ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）GF＝GC，證明見解析；（2）；（3）（1）中的結論仍然成立，理由見解析.

【解析】

（1）連接GE，根據點E是BC的中點以及翻折的性質可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）設GC＝x，則AG＝4+x，DG＝4﹣x，利用Rt△ADG中的勾股定理即可求得GC，進而解題.

（3）利用平行四邊形的性質，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，進而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．

解：（1）GF＝GC．

理由如下：如圖1，連接GE，

∵E是BC的中點，

∴BE＝EC，

∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE＝EF，

∴EF＝EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C＝∠B＝90°，

∴∠EFG＝90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），

∴GF＝GC；

（2）設GC＝x，則AG＝4+x，DG＝4﹣x，

在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，

解得x＝．

∴GC＝，DG＝4﹣＝；

（3）（1）中的結論仍然成立．

證明：如圖2，連接FC，

∵E是BC的中點，

∴BE＝CE，

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，

∴EF＝EC，

∴∠EFC＝∠ECF，

∵矩形ABCD為平行四邊形，

∴∠B＝∠D，

∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，

∴∠ECD＝∠EFG，

∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，

∴∠GFC＝∠GCF，

∴FG＝CG；

即（1）中的結論仍然成立．