Question

【題目】（2016湖南省益陽市）如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D為AB的中點，EF為△ACD的中位線，四邊形EFGH為△ACD的內接矩形（矩形的四個頂點均在△ACD的邊上）．

（1）計算矩形EFGH的面積；

（2）將矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上時停止移動．在平移過程中，當矩形與△CBD重疊部分的面積為時，求矩形平移的距離；

（3）如圖③，將（2）中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形E1F1G1H1，將矩形E1F1G1H1繞G1點按順時針方向旋轉，當H1落在CD上時停止轉動，旋轉后的矩形記為矩形E2F2G1H2，設旋轉角為α，求cosα的值．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】試題分析：（1）根據已知，由直角三角形的性質可知AB=2，從而求得AD，CD，利用中位線的性質可得EF，DF，利用三角函數可得GF，由矩形的面積公式可得結果；

（2）首先利用分類討論的思想，分析當矩形與△CBD重疊部分為三角形時（0＜x≤），利用三角函數和三角形的面積公式可得結果；當矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時（＜x≤），列出方程解得x；

（3）作H2Q⊥AB于Q，設DQ=m，則H2Q=，又，，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函數解得cosα．

試題解析：（1）如圖①，在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，

又∵D是AB的中點，∴AD=1，CD=AB=1，

又∵EF是△ACD的中位線，∴EF=DF=，

在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，∴∠ADC=60°，

在△FGD中，GF=DFsin60°=，∴矩形EFGH的面積S=EFGF==；

（2）如圖②，設矩形移動的距離為x，則0＜x≤；

當矩形與△CBD重疊部分為三角形時，則0＜x≤，S=，∴x=．（舍去）；

當矩形與△CBD重疊部分為直角梯形時，則＜x≤，重疊部分的面積S=，∴x=，即矩形移動的距離為時，矩形與△CBD重疊部分的面積是；

（3）如圖③，作H2Q⊥AB于Q，設DQ=m，則H2Q=，又，．

在Rt△H2QG1中，，解之得m=（負的舍去），

∴cosα===．