Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）證明：DE為⊙O的切線；
（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，CD，

∵BC為⊙O直徑，

∴∠BDC=90°，

即CD⊥AB，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵D點在⊙O上，

∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，

∴CD= BC=2，BD=BCcos30°=2 ，

∴AD=BD=2 ，AB=2BD=4 ，

∴S△ABC= ABCD= ×4 ×2=4 ，

∵DE⊥AC，

∴DE= AD= ×2 = ，

AE=ADcos30°=3，

∴S△ODE= ODDE= ×2× = ，

S△ADE= AEDE= × ×3= ，

∵S△BOD= S△BCD= × S△ABC= ×4 = ，

∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4 ﹣ ﹣ ﹣ = ．

【解析】（1）首先連接OD，CD，由以BC為直徑的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角為30°，可得AD=BD，即可證得OD∥AC，繼而可證得結論；（2）首先根據三角函數的性質，求得BD，DE，AE的長，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面積，繼而求得答案．