Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中線，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF．
（1）求證：AD=AF；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠EAF=∠EDB，

∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（ASA），

∴AF=BD，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中線，

∴AD=BD=DC= BC，

∴AD=AF

（2）解：四邊形ADCF是正方形．

∵AF=BD=DC，AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵AB=AC，AD是中線，

∴AD⊥BC，

∵AD=AF，

∴四邊形ADCF是正方形．

【解析】（1）由E是AD的中點，AF∥BC，易證得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中線，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可證得AD=BD=CD= BC，即可證得：AD=AF；（2）由AF=BD=DC，AF∥BC，可證得：四邊形ADCF是平行四邊形，又由AB=AC，根據三線合一的性質，可得AD⊥BC，AD=DC，繼而可得四邊形ADCF是正方形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直角三角形斜邊上的中線的相關知識，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及對正方形的判定方法的理解，了解先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．