Question

【題目】已知點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點M，N分別是射線AE，AF上的點，且PM=PN．

（1）如圖1，當點M在線段AB上，點N在線段AC的延長線上時，求證：BM=CN；
（2）在（1）的條件下，直接寫出線段AM，AN與AC之間的數量關系；
（3）如圖2，當點M在線段AB的延長線上，點N在線段AC上時，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四邊形ANPM的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，∵點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE，PC⊥AF，

∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，

∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，

，

∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），

∴BM=CN

（2）AM+AN=2AC
（3）解：如圖2，∵點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE，PC⊥AF，

∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，

∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，

，

∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），

∴BM=CN，

∴S△PBM=S△PCN

∵AC：PC=2：1，PC=4，

∴AC=8，

∴由（2）可得，AB=AC=8，PB=PC=4，

∴S四邊形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM

=S△APN+S△APB+S△PCN

=S△APC+S△APB

= ACPC+ ABPB

= ×8×4+ ×8×4

=32

【解析】解：（2）AM+AN=2AC．
∵∠APB=90°﹣∠PAB，∠APC=90°﹣∠PAC，點P為∠EAF平分線上一點，
∴∠APC=∠APB，即AP平分∠CPB，
∵PB⊥AB，PC⊥AC，
∴AB=AC，
又∵BM=CN，
∴AM+AN=（AB﹣MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC；
所以答案是：AM+AN=2AC．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的面積的相關知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對角平分線的性質定理的理解，了解定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．