Question

18．已知二次函數y=x²-（2m+1）+（$\frac{1}{2}$m²-1）．
（1）求證：不論m取什么實數，該二次函數圖象與x軸總有兩個交點；
（2）若該二次函數圖象經過點（2m-2，-2m-1），求該二次函數的表達式．

Answer 1

分析 （1）首先求出b²-4ac的表達式，進而利用配方法求出其符號，進而得出答案；
（2）將已知點代入進而求出m的值得出答案．

解答 解：（1）∵b²-4ac=（2m+1）²-4（$\frac{1}{2}$m²-1）
=（4m²+4m+1）-2m²+4
=2m²+4m+5
=2（m+1）²+3＞0，
∴不論m取什么實數，方程x²-（2m+1）+（$\frac{1}{2}$m²-1）=0都有兩個不相等的實數根，
∴不論m取什么實數，該二次函數圖象與x軸總有兩個交點；

（2）∵該二次函數圖象經過點（2m-2，-2m-1），
∴（2m-2）²-（2m+1）（2m-2）+（$\frac{1}{2}$m²-1）=-2m-1，
解得：m₁=2，m₂=6，
當m=2時，該二次函數的表達式為：y=x²-5x+1，
當m=6時，該二次函數的表達式為：y=x²-13x+17．

點評 此題主要考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數的性質，正確得出m的值是解題關鍵．