Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發沿線段AB以每秒1cm的速度運動，同時點Q從點B出發沿折線B﹣C﹣A以每秒2cm的速度運動．其中一點停止則另一點也隨之停止，設運動時間為t秒．

（Ⅰ）①直接寫出t的取值范圍：　 　；

②當點P運動到AB中點時，連結PQ，PC，BQ，求證：△CPQ∽△ABQ；

（Ⅱ）當△BPQ是直角三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①0≤t≤7，②見解析；（Ⅱ）t＝或

【解析】

（Ⅰ）①利用勾股定理求出AB的長即可解決問題．

②根據兩角對應相等兩三角形相似即可證明．

（Ⅱ）分兩種情形：①如圖2中，當PQ∥AC時，∠PQB＝∠C＝90°．②如圖3中，當∠QPB＝90°時，分別求解即可．

（Ⅰ）①解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝＝10，

∵＝10，＝7，7＜10，

∴t的取值范圍為：．

故答案為：0≤t≤7．

②證明：如圖1中，由題意點P運動到AB的中點時，t＝5，

∴CQ＝5×2﹣8＝2，

∵∠ACB＝90°，PA＝PB，

∴PC＝PA＝PB＝5，

∴∠PCQ＝∠A，

∵，，

∴，

∴△QCP∽△CAB，

（Ⅱ）解：①如圖2中，當PQ∥AC時，∠PQB＝∠C＝90°，

∵PQ∥AC，

∴，

∴，

解得：；

②如圖3中，當∠QPB＝90°時，

∵∠QPB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，

∴△BPQ∽△BCA，

∴，

∴，

解得：；

綜上所述，滿足條件的t的值為：或.