Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點、，點坐標為．

求該拋物線的解析式；

拋物線的頂點為，在軸上找一點，使最小，并求出點的坐標；

點是線段上的動點，過點作，交于點，連接．當的面積最大時，求點的坐標；

若平行于軸的動直線與該拋物線交于點，與直線交于點，點的坐標為．問：是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）；（4）的坐標為：或或或．

【解析】

（1）把A、C兩點坐標代入拋物線解析式可求得a、c的值，可求得拋物線解析；

（2）可求得點C關于x軸的對稱點C′的坐標，連接C′N交x軸于點K，再求得直線C′K的解析式，可求得K點坐標；

（3）過點E作EG⊥x軸于點G，設Q（m，0），可表示出AB、BQ，再證明△BQE≌△BAC，可表示出EG，可得出△CQE關于m的解析式，再根據二次函數的性質可求得Q點的坐標；

（4）分DO＝DF、FO＝FD和OD＝OF三種情況，分別根據等腰三角形的性質求得F點的坐標，進一步求得P點坐標即可．

∵拋物線經過點，，

∴，解得，

∴拋物線解析式為；

由可求得拋物線頂點為，

如圖，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則點即為所求，

設直線的解析式為，

把、點坐標代入可得，解得，

∴直線的解析式為，

令，解得，

∴點的坐標為；

設點，過點作軸于點，如圖，

由，得，，

∴點的坐標為，，，

又∵，

∴，

∴，即，

解得；

∴．

又∵，

∴當時，有最大值，此時；

存在．在中，

若，∵，，

∴．

又在中，，

∴．

∴．

∴．

此時，點的坐標為．

由，得，．

此時，點的坐標為：或；

若，過點作軸于點．

由等腰三角形的性質得：，

∴．

∴在等腰直角中，．

∴．

由，得，．

此時，點的坐標為：或；

若，

∵，且．

∴．

∴點到的距離為．

而，與矛盾．

∴在上不存在點使得．

此時，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形．

綜上所述，存在這樣的直線，使得是等腰三角形．所求點的坐標為：或或或．