Question

（2011•鞍山）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊長為

5

，點A在y軸正半軸上，點B在x軸負半軸上，B（-1，0），C、D兩點在拋物線y=

1

2

x²+bx+c上．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）正方形ABCD沿射線CB以每秒

5

個單位長度平移，1秒后停止，此時B點運動到B₁點，試判斷B₁點是否在拋物線上，并說明理由；
（3）正方形ABCD沿射線BC平移，得到正方形A₂B₂C₂D₂，A₂點在x軸正半軸上，求正方形ABCD的平移距離．

Answer 1

分析：（1）首先作出輔助線證明Rt△BCE≌Rt△ABO，進而得出CE=BO，BE=AO，同理可得△ADF≌△ABO，再求出C（1，-1）、D（2，1）即可求出拋物線解析式；
（2）根據題意，得1秒后點B移動的長度為，則　BB₁=

5

，進而求出Rt△ABO≌Rt△BB₁N，從而得出B₁坐標，得出答案即可；
（3）首先證明△A₂BB₂∽△BAO，再求出正方形ABCD平移的距離．

解答：解：（1）如圖，過點C作CE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥y軸于點F．
∵正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠AOB=90°，
即∠OBC+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90°．
∴∠OBC=∠BAO．
在Rt△BCE和Rt△ABO中，
∵∠OBC=∠BAO，BC=AB，∠CEB=∠BOA=90°，
∴Rt△BCE≌Rt△ABO（AAS）．
∴CE=BO，BE=AO．
∵B（-1，0），
∴BO=1．
∵AB=

5

，
∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO=

AB2-BO2

=

5-1

=2．
∴CE=1，BE=2．
∴OE=BE-BO=1．
∴C（1，-1）．
同理可得△ADF≌△ABO．
∴DF=AO=2，AF=BO=1．
∴OF=AO-AF=2-1=1．
∴D（2，1）．
將C（1，-1）、D（2，1）分別代入y=

1

2

x²+bx+c中，
可得

-1= 1 2 ×1+b+c 1= 1 2 ×4+2b+c

解得

b= 1 2 c=-2

∴此拋物線的表達式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（2）點B₁在拋物線上．
理由：根據題意，得1秒后點B移動的長度為，

5

×1=

5

，
則　BB₁=

5

．
如圖，過點B₁作B₁N⊥x軸于點N．
在Rt△ABO與Rt△BNB₁中，
∵∠AOB=∠BNB₁=90°，
∠2=∠B₁BN=90°-∠ABO，AB=B₁B，
∴Rt△ABO≌Rt△BB₁N．
∴B₁N=BO=1，NB=AO=2．
∴NO=NB+BO=2+1=3．
∴B₁（-3，1）．
將點B₁（-3，1）代入y=

1

2

x²+

1

2

x-2中，可得點B₁（-3，1）在拋物線上．

（3）如圖，設正方形ABCD沿射線BC平移后的圖形為正方形A₂B₂C₂D₂．
∵∠OBC=∠BAO，∠BB₂A₂=∠AOB，
∴△A₂BB₂∽△BAO．
∴

BB2

A2B2

=

AO

BO

．
∵AO=2，BO=1，A₂B₂=

5

，
即　

BB2

5

=

2

1

，
∴BB₂=2

5

．
∴正方形ABCD平移的距離為2

5

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及全等三角形的應用和相似三角形的應用，熟練利用判定得出點的坐標是解題關鍵．