Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ 與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）求直線AC的解析式；

（2）如圖2，點E（a，b）是對稱軸右側拋物線上一點，過點E垂直于y軸的直線與AC交于點D（m，n）．點P是x軸上的一點，點Q是該拋物線對稱軸上的一點，當a+m最大時，求點E的坐標，并直接寫出EQ+PQ+PB的最小值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連結OD，將△AOD沿x軸翻折得到△AOM，再將△AOM沿射線CB的方向以每秒3個單位的速度沿平移，記平移后的△AOM為△A′O'M'，同時拋物線以每秒1個單位的速度沿x軸正方向平移，點B的對應點為B'．△A'B'M'能否為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點M'的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）E（3，），點F（﹣1，），；（3）符合條件的點M'的坐標M′（0，）．

【解析】

(1）y＝，令y＝0，x＝0，求出A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣2 ），把A、C坐標代入y＝kx+b，即可求解；

（2）①由n＝b，解得：m＝﹣ m2+ a，則a+m＝a+（﹣m2+a）＝﹣（a﹣3）2+ ，即可求解；②F是E關于對稱軸的對稱點，則在如圖位置時，EQ+PQ＝PF最小，即EQ+PQ+ PB是最小值，即可求解；

（3）設移動的時間t秒，各點坐標為：A′（﹣2+2t）、B′（4+t）、M′（﹣ +2t，t），分AB′2＝AM′2、AB′2＝BM′2、BM′2＝AM′2討論求解．

（1）y＝，

令y＝0，解得x＝﹣2或4，令x＝0，則y＝﹣2，

∴點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣2）；

把A、C坐標代入y＝kx+b，

解得：k＝﹣，b＝﹣2，

∴直線AC的解析式y＝﹣x﹣2；

（2）∵E（a，b）在拋物線上，∴b＝，

∵D（m，n）在直線AC上，∴n＝﹣m﹣2，

∵DE⊥y軸，∴n＝b，解得：m＝﹣a2+a，

∴a+m＝a+（﹣a2+a）＝﹣（a﹣3）2+，

∴當a＝3時，a+m由最大值，b＝ ，

則：E（3，），點F（﹣1，），

如下圖2所示，連接BC，過點F作FP∥BC，交對稱軸和x軸于點Q、P，

∵F是E關于對稱軸的對稱點，則在如圖位置時，EQ+PQ＝PF最小，即EQ+PQ+ PB是最小值，

kBC＝ ＝kFP，把kFP和點F坐標代入y＝kx+b，

解得：b＝﹣ ，即：y＝x﹣，

令y＝0，則x＝ ，即點P（，0），

則PF＝ ，而PB＝（4﹣）＝ ，

EQ+PQ+PB＝PF+PB＝ ；

故：點E坐標為（3，），EQ+PQ+PB的最小值為；

（3）設移動的時間t秒，△A′O′M′移動到如圖所示的位置，

則此時各點坐標為：A′（﹣2+2t）、B′（4+t）、M′（﹣ +2t，+ t），

則AB′2＝6t2﹣12t+36，AM′2＝ ，BM′2＝6t2+3t+ ，

當AB′2＝AM′2時，6t2﹣12t+36＝，方程無解，

當AB′2＝BM′2時，6t2﹣12t+36＝6t2+3t+，t＝ ，M′（0， ），

當BM′2＝AM′2時，6t2+3t+＝，方程無解，

故：符合條件的點M'的坐標M′（0，）．