Question

【題目】（11分）如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經過點A，點P是拋物線上點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F. 點D、E的坐標分別為（0，6），（-4，0），連接PD，PE，DE.

（1）請直接寫出拋物線的解析式；

（2）小明探究點P的位置發現：當點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值. 進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值. 請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進一步探究得出結論：若將“使△PDE的面積為整數”的點P記作“好點”，則存在多個“好點”，且使△PDE的周長最小的點P也是一個“好點”.請直接寫出所有“好點”的個數，并求出△PDE的周長最小時“好點”的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=-+8；

（2）正確，理由參見解析；

（3）“好點”11個，△PDE的周長最小時“好點”的坐標（-4,6）.

【解析】

試題分析：（1）因為拋物線對稱軸是y軸，所以根據A,C點坐標即可寫出解析式.（2）把任意一點P的坐標表示出來，并表示出PD,PF的長，用PD-PF驗證；（3）先求出使△PDE的周長最小的點P的坐標，∵DE是定值，考慮PE與PD的和最小，由上題得出的結論轉化成PE與PF的關系進而得出使△PDE的周長最小的點P點坐標；想找到“好點”的個數，先把三角形PDE的面積表示出來，用梯形面積減去兩個直角三角形的面積，由x的取值范圍確定S的整數值有幾個，再加上前面的使△PDE的周長最小的一個點，就知道一共“好點”的個數.

試題解析：（1）設y=a+8，將A（-8,0）代入，a=-,∴y=-+8；

（2）設P（x,-+8）,則PF=8－（-+8）=,過P作PM⊥y軸于M，

則==，

∴PD=+2，∴PD-PF=+2－=2，∴猜想正確.

（3）①在P點運動時，DE大小不變，∴PE與PD的和最小時，△PDE的周長最小，∵PD-PF=2，∴PD=PF＋2，∴PE＋PD=PE＋PF＋2，當P,E,F三點共線時，PE＋PF最小，此時，點P,E橫坐標都為-4，將x=-4代入y=-+8，得y=6,∴P（-4,6）,此時△PDE的周長最小，且△PDE的面積為12，點P恰為“好點”，∴△PDE的周長最小時“好點”的坐標（-4,6）.②作PH⊥AO于H,△PDE的面積S=梯形PHOD面積減去兩個直角三角形△PHE,△DEO的面積=-－3x＋4=－+13，由-8≤x≤0知4≤S≤13，∴S的整數點有10個，當S=12時，對應的“好點”有1個，所以“好點”共有11個.