Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，半徑為1的⊙A圓心與原點O重合，直線l分別交x軸、y軸于點B、C，若點B的坐標為(6，0)，tan∠ABC=．

（1）若點P是⊙A 上的動點，求P到直線BC的最小距離，并求此時點P的坐標；

（2）若點A從原點O出發，以1個單位/秒的速度沿著線路OB→BC→CO運動，回到點O停止運動，⊙A隨著點A的運動而移動．設點A運動的時間為t．

①求⊙A在整個運動過程中與坐標軸相切時t的取值；

②求⊙A在整個運動過程中所掃過的圖形的面積為 ．

Answer 1

【答案】（1），最小距離為3.8；（2）①1、、、、、23；②42+

【解析】

試題分析：（1）利用點B的坐標為（6，0）且tan∠ABC=，即可得出C點坐標，進而利用△OPH∽△CBO，求出P點坐標即可；

（2）①利用⊙A在整個運動過程中所掃過的面積=矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個圓的面積-△LSK面積，求出即可；

②利用相似三角形的判定與性質得出t的值即可，注意利用數形結合得出．

（1）∵點B的坐標為（6，0）且tan∠ABC=

∴AC=8，

故C點坐標為：C（0，8），

∴BC=10，

過O作OG⊥BC于G，則OG與⊙A的交點即為所求點P．過P作PH⊥x軸于H，

∵PH⊥AB，

∴∠OHP=90°，

∵∠POH+∠COP=90°，∠POC+∠OCG=90°，

∴∠POH=∠OCG，

又∵∠COB=90°，

∴△OPH∽△CBO，

可得，

∴；

（2）①如圖所示：⊙A與△OBC的三邊相切有6種不同的情況，

當⊙O2與BC相切于點N，則O2N⊥BC，

∵∠OBC=∠O2BN，∠O2NB=∠COB=90°，

∴△O2NB∽△COB，

解得

則，則t的值為秒，

同理可得出：O，O4，O5的位置，即可得出時間t的值，

故t=1、、、、、23；

②如圖2所示：當圓分別在O，B，C位置時，作出公切線DR，YH，FG，PW，切點分別為：D，R，H，G，F，P，W

連接CD，CF，BG，過點K作KX⊥BC于點X，PW交AB于點U，

∵PU∥OB，

∴∠OBC=∠KUX，

∵∠KXU=∠COB=90°，

∴△COB∽△KXU，

∵PU∥BO，

∴△CPU∽△COB，

同理可得出：△LSK∽△COB，

解得：LS=4，

則∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH=90°，

故⊙A在整個運動過程中所掃過的面積

=矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個圓的面積-△LSK面積，

=42+.