Question

【題目】探索應用

材料一：如圖1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC邊上的高為　 　，用a．c和θ表示△ABC的面積為　 　．

材料二：如圖2，已知∠C＝∠P，求證：CFBF＝QFPF．

材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結果之一，最早出現在1815年，由W．G．霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶．

定理：如圖3，M為弦PQ的中點，過M作弦AB和CD，連結AD和BC交PQ分別于點E和F，則ME＝MF．

證明：設∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，

∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，

PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y

由

即

化簡得：MF2AEED＝ME2CFFB

則有： ,

又∵CFFB＝QFFP，AEED＝PEEQ，

∴，即

即，從而x＝y，ME＝MF．

請運用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問題：

如圖4，B、C為線段PQ上的兩點，且BP＝CQ，A為PQ外一動點，且滿足∠BAP＝∠CAQ，判斷△PAQ的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】材料一：；材料二：證明見解析；材料三：△PAQ的形狀為等腰三角形，證明見解析．

【解析】

材料一：作AD⊥BC于D，由三角函數定義得AD＝AB×sinB＝csinθ，由三角形面積公式得△ABC的面積＝BC×AD＝acsinθ即可；

材料二：證明△CFQ∽△PFB，得出＝，即可得出結論；

材料三：證S△ABP＝S△ACQ，S△APC＝S△AQB，證△ABP∽△ACQ，由S△ABP＝S△ACQ，證出AP＝AQ，即可得出結論．

材料一：

解：作AD⊥BC于D，如圖1所示：

則sinB＝，

∴AD＝AB×sinB＝csinθ，

∴△ABC的面積＝BC×AD＝acsinθ，

故答案為：csinθ，acsinθ；

材料二：

證明：∵∠C＝∠P，∠CFQ＝∠PFB，

∴△CFQ∽△PFB，

∴＝,

∴CFBF＝QFPF；

材料三：

解：△PAQ的形狀為等腰三角形，理由如下：

∵B、C為線段PQ上的兩點，且BP＝CQ，

∴CP＝BQ，

∴△ABP與△ACQ等底等高，△APC與△AQB等底等高，

∴S△ABP＝S△ACQ，S△APC＝S△AQB，

∵∠BAP＝∠CAQ，

∴∠BAP+∠BAC＝∠CAQ+∠BAC，

即∠PAC＝∠QAB，

∴sin∠QAB＝Psin∠PAC，

∵S△AQB＝ABAQsin∠QAB，S△APC＝ACAPsin∠PAC，

∴==1,

∴=，

∴△ABP∽△ACQ，

∵S△ABP＝S△ACQ，

∴=＝1，

∴AP＝AQ，

∴△PAQ的形狀為等腰三角形．