Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx的圖象經過點A（2，4）與B（6，0）．

（1）求a，b的值；
（2）點C是該二次函數圖象上A，B兩點之間的一動點，橫坐標為x（2＜x＜6），寫出四邊形OACB的面積S關于點C的橫坐標x的函數表達式，并求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（2，4）與B（6，0）代入y=ax2+bx，

得 ，解得： ；

（2）

解：如圖，

過A作x軸的垂直，垂足為D（2，0），連接CD，過C作CE⊥AD，CF⊥x軸，垂足分別為E，F，

S△OAD= ODAD= ×2×4=4；

S△ACD= ADCE= ×4×（x﹣2）=2x﹣4；

S△BCD= BDCF= ×4×（﹣ x2+3x）=﹣x2+6x，

則S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，

∴S關于x的函數表達式為S=﹣x2+8x（2＜x＜6），

∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，

∴當x=4時，四邊形OACB的面積S有最大值，最大值為16

【解析】（1）把A與B坐標代入二次函數解析式求出a與b的值即可；（2）如圖，過A作x軸的垂直，垂足為D（2，0），連接CD，過C作CE⊥AD，CF⊥x軸，垂足分別為E，F，分別表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面積，之和即為S，確定出S關于x的函數解析式，并求出x的范圍，利用二次函數性質即可確定出S的最大值，以及此時x的值．此題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及二次函數的最值，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)．