Question

【題目】若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，abc≠0）與直線l都經過y軸上的一點P，且拋物線L的頂點Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關系．此時，直線l叫做拋物線L的“帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”．
（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關系，求m，n的值；
（2）若某“路線”L的頂點在反比例函數y= 的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y=2x﹣4，求此“路線”L的解析式；
（3）當常數k滿足 ≤k≤2時，求拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令直線y=mx+1中x=0，則y=1，

即直線與y軸的交點為（0，1）；

將（0，1）代入拋物線y=x2﹣2x+n中，

得n=1．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

∴拋物線的頂點坐標為（1，0）．

將點（1，0）代入到直線y=mx+1中，

得：0=m+1，解得：m=﹣1．

答：m的值為﹣1，n的值為1．

（2）

解：將y=2x﹣4代入到y= 中有，

2x﹣4= ，即2x2﹣4x﹣6=0，

解得：x1=﹣1，x2=3．

∴該“路線”L的頂點坐標為（﹣1，﹣6）或（3，2）．

令“帶線”l：y=2x﹣4中x=0，則y=﹣4，

∴“路線”L的圖象過點（0，﹣4）．

設該“路線”L的解析式為y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，

由題意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，

解得：m=2，n=﹣ ．

∴此“路線”L的解析式為y=2（x+1）2﹣6或y=﹣ （x﹣3）2+2

（3）

解：令拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，則y=k，

即該拋物線與y軸的交點為（0，k）．

拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的頂點坐標為（﹣ ， ），

設“帶線”l的解析式為y=px+k，

∵點（﹣ ， ）在y=px+k上，

∴ =﹣p +k，

解得：p= ．

∴“帶線”l的解析式為y= x+k．

令∴“帶線”l：y= x+k中y=0，則0= x+k，

解得：x=﹣ ．

即“帶線”l與x軸的交點為（﹣ ，0），與y軸的交點為（0，k）．

∴“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積S= |﹣ |×|k|，

∵ ≤k≤2，

∴ ≤ ≤2，

∴S= = = ，

當 =1時，S有最大值，最大值為 ；

當 =2時，S有最小值，最小值為 ．

故拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍為 ≤S≤ ．

【解析】（1）找出直線y=mx+1與y軸的交點坐標，將其代入拋物線解析式中即可求出n的值；再根據拋物線的解析式找出頂點坐標，將其代入直線解析式中即可得出結論；（2）找出直線與反比例函數圖象的交點坐標，由此設出拋物線的解析式，再由直線的解析式找出直線與x軸的交點坐標，將其代入拋物線解析式中即可得出結論；（3）由拋物線解析式找出拋物線與y軸的交點坐標，再根據拋物線的解析式找出其頂點坐標，由兩點坐標結合待定系數法即可得出與該拋物線對應的“帶線”l的解析式，找出該直線與x、y軸的交點坐標，結合三角形的面積找出面積S關于k的關系上，由二次函數的性質即可得出結論．本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題已經二次函數的應用，解題的關鍵是：（1）根據“一帶一路”關系找出兩函數的交點坐標；（2）根據直線與反比例函數的交點設出拋物線的解析式；（3）找出“帶線”l與x軸、y軸的交點坐標．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大；（3）數據稍顯繁瑣，解決該問時，借用三角形的面積公式找出面積S與k之間的關系式，再利用二次函數的性質找出S的取值范圍．