Question

【題目】如圖，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．動點P從O點出發，以每秒3個單位的速度，沿△OAB的邊OA、AB、BO作勻速運動；動直線l從AB位置出發，以每秒1個單位的速度向x軸負方向作勻速平移運動．若它們同時出發，運動的時間為t秒，當點P運動到O時，它們都停止運動．
（1）當P在線段OA上運動時，求直線l與以P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值范圍；
（2）當P在線段AB上運動時，設直線l分別與OA、OB交于C、D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線l的出發時間，使得四邊形CPBD會是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：當P在線段OA上運動時，OP=3t，AC=t，

⊙P與直線l相交時， ，

解得 ＜t＜

（2）解：四邊形CPBD不可能為菱形．

依題意，得AC=t，OC=4﹣t，PA=3t﹣4，PB=7﹣3t，

∵CD∥AB，

∴ = ，即 = ，

解得CD= （4﹣t），

由菱形的性質，得CD=PB，

即 （4﹣t）=7﹣3t，

解得t= ，

又當四邊形CPBD為菱形時，PC=PB=7﹣3t，當t= 時，

代入PA2+AC2=（3t﹣4）2+t2= ，PC2=（7﹣3t）2= ，

∴PA2+AC2≠PC2，就不能構成菱形．

設直線l比P點遲a秒出發，則AC=t﹣a，OC=4﹣t+a，

由CD∥AB，得CD= （4﹣t+a），由CD=PB，得 （4﹣t+a）=7﹣3t，

解得t= ，

PC∥OB，PC=CD，得 = ，即ABPC=OBAP，

3× （4﹣t+a）=5×（3t﹣4），

解得t= ，

則 = ，

解得a= ，即直線l比P點遲 秒出發．

【解析】（1）根據點P與直線l的距離d＜1分為點P在直線l的左邊和右邊，分別表示距離，列不等式組求范圍；（2）四邊形CPBD不可能為菱形．依題意可得AC=t，OC=4﹣t，PA=3t﹣4，PB=7﹣3t，由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性質得CD=PB可求t的值，又當四邊形CPBD為菱形時，PC=PB=7﹣3t，把t代入PA2+AC2 ， PC2中，看結果是否相等如果結果不相等，就不能構成菱形．設直線l比P點遲a秒出發，則AC=t﹣a，OC=4﹣t+a，再利用平行線表示CD，根據CD=PB，PC∥OB，得相似比，分別表示t，列方程求a即可．
【考點精析】本題主要考查了解一元一次方程的步驟和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握先去分母再括號，移項變號要記牢．同類各項去合并，系數化“1”還沒好．求得未知須檢驗，回代值等才算了；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．