Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和，給出如下定義：若上存在一點(diǎn)不與重合，使點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，則稱為的反射點(diǎn)．下圖為的反射點(diǎn)的示意圖．

（1）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，的半徑為，

①在點(diǎn)，，中，的反射點(diǎn)是____________；

②點(diǎn)在直線上，若為的反射點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）的圓心在軸上，半徑為，軸上存在點(diǎn)是的反射點(diǎn)，直接寫出圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，；②點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，或；（2）圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是．

【解析】

（1）①連接MN,過(guò)原點(diǎn)O作MN的垂線，必與有交點(diǎn)，即可得出結(jié)論.

②直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為1和3的兩個(gè)圓的交點(diǎn)從左至右依次為，，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，分別求出點(diǎn)E,F,G,H的坐標(biāo)，為的反射點(diǎn)，則

上存在一點(diǎn)T，使點(diǎn)P關(guān)于直線OT的對(duì)稱點(diǎn)在上，則,由，則，即可求出答案.

（2）根據(jù)反射點(diǎn)的定義求解即可.

解（1）①連接MN,過(guò)原點(diǎn)O作MN的垂線，必與有交點(diǎn)， 都是的反射點(diǎn)．

②設(shè)直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為1和3的兩個(gè)圓的交點(diǎn)從左至右依次為，，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖．

可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

同理可求得點(diǎn)，，的橫坐標(biāo)分別為，，．

點(diǎn)是的反射點(diǎn)，則上存在一點(diǎn)，使點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，則.

∵，∴．

反之，若，上存在點(diǎn)，使得，故線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與相交．因此點(diǎn)是的反射點(diǎn)．

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，或．

（2）圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是．