Question

（初三）如圖，△ABC中，AB=AC，I為△ABC的內心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點D，過點I作BC的平行線分別交AB、AC于E、F，若O是△DEF外接圓的圓心．
證明：（1）O點在線段AD上；
（2）AB、AC是⊙O的切線．
（初二）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，DA=DC，求證，BD²=AB²+BC²．

Answer 1

（初三）證明：（1）∵AB=AC，I為△ABC的內心，即AI平分∠BAC
∴
又∵BC∥EF，
∴AI垂直平分EF，
而O是△DEF外接圓的圓心，則O點一定在EF的垂直平分線上，
∴O點在線段AD上；

（2）連接OE，OF，BD，BI，如圖，
∵AD垂直平分BC，
∴AD過△ABC外接圓的圓心，即AD為△ABC外接圓的直徑，
∴∠ABD=90°，而∠AIE=90°，
∴I、E、B、D四點共圓，
∴∠IDE=∠IBE=∠IBC，而∠EOI=2∠EDI，
∴∠EOI=∠ABC，而∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠EOI+∠BAD=90°，即∠OEA=90°，
∴AB是⊙O的切線．同理可得AC是⊙O的切線．

（初二）證明：
連接AC，因為AD=DC，∠ADC=60°
則△ACD是等邊三角形，
過B作BE⊥AB，使BE=BC，連接CE，AE，
則∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
∴△BCE是正三角形，
又∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+60°
∠DCB=∠ACB+∠ACD=∠ACB+60°
∴∠ACE=∠DCB
又DC=AC，BC=CE
所以△DCB≌△ACE
所以AE=BD
在直角三角形ABE中AE²=AB²+BE²，
即BD²=AB²+BC²．