Question

【題目】李老師給愛好學習的小兵和小鵬提出這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB=AC點P為邊BC上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．

小兵的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．

小鵬的證明思路是：如圖2，過點P作PG⊥CF，垂足為G，先證△GPC≌△ECP，可得：PE=CG，而PD=GF，則PD+PE=CF．

請運用上述中所證明的結論和證明思路完成下列兩題：

（1）如圖3，將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=16，CF=6，求PG+PH的值；

（2）如圖4，P是邊長為6的等邊三角形ABC內任一點，且PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，求PD+PE+PF的值．

Answer 1

【答案】（1）C'B=AB=EQ=8；（2）3．

【解析】

（1）將三角形BEF的面積分別用BF（PG+PH）和BFEQ表示，然后求出面積，轉化線段之間的關系即可得出答案.

(2)求出三角形ABC的面積，再根據三角形ABC的面積=三個四三角形的面積和進行轉化即可得出答案.

解：（1）如圖3，過點E作EQ⊥BC于Q，連接BP，

∵四邊形ABCD是長方形，

∴AD∥BC，

由折疊可得，∠DEF=∠BEF，

∴∠BFE=∠BEF，

∴BE=BF，

∵PG⊥BE、PH⊥BC，

∴S△BEF=S△BEP+S△BFP=BEPG+BFPH=BF（PG+PH），

∵S△BEF=BFEQ，

∴PG+PH=EQ，

∵四邊形ABCD是長方形，

∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．

∵AD=16，CF=6，

∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=10．

DF=BF=10，CF=6,

即根據勾股定理得DC=8

S△BEF=BFEQ=BF·DC=40

即BF（PG+PH）=40

所以PG+PH=8

（2）過A作AM⊥BC，連接PA，PB，PC，如圖4所示：

∵△ABC為等邊三角形的邊長為6，AM⊥BC，

∴M為BC的中點，即BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=6，BM=3，

根據勾股定理得：AM=3

又∵S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP

=PEBC+PFAC+PDAB=AB（PE+PF+PD）=BCAM，

∴（PE+PF+PD）=AM=3．