Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接AC、BC，過點C作∠BCP＝∠BAC，交AB的延長線于點P，弦CD平分∠ACB，交AB于點E，連接OC、AD、BD．

（1）求證：PC為⊙O的切線；

（2）若OC＝5，OE＝1，求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解性；（2）PC＝12

【解析】

（1）根據圓周角定理和等腰三角形的性質證得OC⊥PC，即可證得結論；

（2）證明∠PEC＝∠PCE，根據等角對等邊可得PE＝PC，設PC＝PE＝x，則OP＝x＋1，根據勾股定理即可求得．

（1）證明：∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°

∴∠BAC+∠OBC＝90°，

∵∠BCP＝∠BAC，

∴∠OCB+∠BCP＝90°，即∠OCP＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC為⊙O的切線；

（2）解：∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD

∴＝，

∴∠ABD＝∠DCB，

∵∠BCP＝∠BAC，∠BAC＝∠BDC，∠BAD＝∠BCD，

∴∠PCB＝∠BDC，∠ABD＝∠BCD，

∴∠BDC+∠ABD＝∠BCD+∠PCB，即∠PEC＝∠PCE，

∴PC＝PE，

設PC＝PE＝x，則OP＝x+1，

在Rt△OPC中，OP2＝OC2+PC2，

∴（x+1）2＝52+x2，

解得x＝12，

∴PC＝12．