Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0）．

（1）求b、c的值；
（2）如圖1直線y=kx+1（k＞0）與拋物線第一象限的部分交于D點，交y軸于F點，交線段BC于E點．求 的最大值；
（3）如圖2，拋物線的對稱軸與拋物線交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．問在直線BC下方的拋物線上是否存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A（﹣1，0）、B（3，0）帶入到拋物線解析式中得：

，

解得： ．

（2）

解：作DN∥CF交CB于N，如圖1所示．

∵DN∥CF，

∴△DEN∽△FEC，

∴ ．

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

∴點C的坐標為（0，3）．

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

令直線y=kx+1中x=0，則y=1，

即點F的坐標為（0，1）．

設點D的坐標為（m，﹣m2+2m+3），則點N的坐標為（m，﹣m+3），

∴DN=﹣m2+3m，CF=3﹣1=2，

∴ = ，

∵DN=﹣m2+3m=﹣ + 的最大值為 ，

∴ 的最大值為 ．

（3）

解：假設存在符合題意的點Q．

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴P點的坐標為（1，4），PM的解析式為x=1，

∵直線BC的解析式為y=﹣x+3，

∴M的坐標為（1，2），

∵點G的坐標為（1，0），

∴PM=GM=2．

設PM與x軸交于點G，過點G作作直線BC的平行線，如圖2所示．

∴過點G與BC平行的直線為y=﹣x+1．

聯立直線與拋物線解析式得： ，

解得： 或 ．

∴點Q的坐標為（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．

∵平行線間距離處處相等，且點M為線段PG的中點，

∴點Q到直線BC的距離與點P到直線的距離相等．

故在直線BC下方的拋物線上存在點Q，使得△QMB與△PMB的面積相等，點Q的坐標為（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．

【解析】（1）將點A、B的坐標帶入到拋物線解析式中，得出關于b、c的二元一次方程組，解方程組即可得出結論；（2）作DN∥CF交CB于N，由DN∥CF可得出△DEN∽△FEC，根據相似三角形的性質得出 ，由（1）可得出拋物線的解析式，令拋物線解析式中x=0則可得出點C的坐標，由點B、C的坐標可得出直線BC的解析式，設出點D的坐標，則可得出點N的坐標，由直線DF的解析式可得出點F的坐標，從而得出DN、CF的長度，由DN的長度結合二次函數的性質即可得出結論；（3）假設存在符合題意的點Q．設PM與x軸交于點G，過點G作作直線BC的平行線．由拋物線的解析式可得出頂點P的坐標，由此得出對稱軸的解析式，結合直線BC的解析式可得出點M的坐標，結合點G的坐標可知PM=GM，由此得出滿足題意的點Q為“過點G與直線BC平行的直線和拋物線的交點”，由G點的坐標結合直線BC的解析式即可得出過點G與BC平行的直線的解析式，聯立直線與拋物線解析式得出關于x、y的二元二次方程組，解方程即可得出結論．