Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：

數學課上，老師讓同學們拿兩張大小相同的正方形紙片做旋轉探究活動，并提出數學問題加以解決：如圖（1），四邊形ABCD和DCGH都是正方形，點M，N分別是DH，CG的中點，將正方形ABCD以點D為中心，逆時針旋轉角度α（0＜α＜90°），得到正方形ABC'D．

解決問題：

下面是興趣小組提出兩個數學問題，請你解決這些問題．

（1）如圖（2）．當邊BC'正好經過點N時．寫出線段C'G和DN的位置關系，并證明

（2）如圖（3），當點C′正好落在MN上時，求旋轉角α的大小．

Answer 1

【答案】（1）C′G∥DN．理由見解析；（2）旋轉角α的大小為30°．

【解析】

（1）結論：C′G∥DN．想辦法證明∠DNC=∠C′GN即可解決問題．

（2）連接HC′．證明△DC′H是等邊三角形即可解決問題．

（1）結論：C′G∥DN．

理由：如圖2中，連接C′G，DN．

在Rt△DCN和Rt△DC′N中：

∵DC＝DC′，DN＝DN，∠DCN＝∠DC′N＝90°，

∴Rt△DCN≌Rt△DC′N（HL）），

∴CN＝C′N，∠DNC＝∠DNC′，

又∵CN＝NG，

∴NG＝C′N，

∴∠NC′G＝∠NGC′，

又∵∠CNC′＝∠NC′G+∠NGC′，

∴∠DNC′＝∠NG C′，

∴C′G∥DN．

（2）連接HC′．

∵四邊形DCGH是正方形，點M，N分別是DH，CG的中點，

∴MN垂直平分DH，

∴DC′＝C′H．

又∵DH＝DC′，

∴△DC′H是等邊三角形，

∴∠C′DH＝60°，

∴∠CDC′＝30°．

∴旋轉角α的大小為30°．