Question

【題目】如圖l，在四邊形ABCD中.∠DAB被對角線AC平分，且AC2=AB·AD，我們稱該四邊形為“可分四邊形”∠DAB稱為“可分角”.

（1）如圖2，四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，求證：△DAC∽△CAB.

（2）如圖2，四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，如果∠DCB=∠DAB 則∠DAB = .

（3）現有四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，且AC=4.BC=2.∠D=90°，則AD= .

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）120°；（3）

【解析】

（1）先判斷出，即可得出結論；

（2）由已知條件可證得△ADC∽△ACB，得出D=∠4，再由已知條件和三角形內角和定理得出∠1+2∠1=180°，求出∠1=60°，即可得出∠DAB的度數；

（3）由已知得出AC2=ABAD，∠DAC=∠CAB，證出△ADC∽△ACB，得出∠D=∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，即可得出AD的長．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，

∴AC2=ABAD，

∴，

∵∠DAB為“可分角”，

∴∠CAD=∠BAC，

∴△DAC∽△CAB；

（2）解：如圖所示：

∵AC平分∠DAB，

∴∠1=∠2，

∵AC2=ABAD，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠4，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1，

∵∠1+∠D+∠3=∠1+∠4+∠3=180°，

∴∠1+2∠1=180°，

解得：∠1=60°，

∴∠DAB=120°；

故答案為：120；

（3）解：∵四邊形ABCD為“可分四邊形”，∠DAB為“可分角”，

∴AC2=ABAD，∠DAC=∠CAB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠D=∠ACB=90°，

∴，

∴

故答案為：.