Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．
（1）若∠A+∠CDB=90°，求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

又∵∠A+∠CDB=90°，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，

∴BD⊥OD，

∴BD是⊙O切線

（2）解：連接DE，

∵AE是直徑，

∴∠ADE=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠ADE=∠C，

∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴AD：AC=DE：BC

又∵D是AC中點，

∴AD= AC，

∴DE= BC，

∵BC=6，∴DE=3，

∵AD：AE=4：5，

在直角△ADE中，設AD=4x，AE=5x，

那么DE=3x，

∴x=1

∴AE=5

【解析】（1）連接OD，由∠A=∠ADO，進而證得∠ADO+∠CDB=90°，而證得BD⊥OD；（2）連接DE，由AE是直徑，得到∠ADE=90°，然后利用已知條件可以證明DE∥BC，從而得到△ADE∽△ACB，接著利用相似三角形的性質得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中點，由此可以求出DE的長度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，設AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解決問題．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和三角形中位線定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．